UNIVERSITA’ DEL LAZIO
La Sapienza - Tor Vergata - Roma Tre - IUSM - La Tuscia - Cassino - LUMSA
Scuola di Specializzazione all’insegnamento secondario
Indirizzo Fisico-Informatico-Matematico

PROGRAMMI 2° anno - 3° semestre A.A. 2006-2007

AREA 1 E LABORATORIO

VERIFICARE E VALUTARE 
PROF. R. BOLLETTA Modulo comune ai due curricola (18 ore)

OBIETTIVI:
Inserire i problemi della verifica e della valutazione nel quadro dello sviluppo della professionalità di un  docente dell’area matematico scientifica.
Promuovere la capacità di costruire, sperimentare e validare strumenti di verifica dell'apprendimento nell’ambito matematico scientifico

Contenuti
1)	Modalità di accertamento, tipi di  valutazione e metodologie didattiche.
2)	Le funzioni della valutazione nel sistema educativo
3)	Caratteristiche metrologiche delle prove di profitto, affidabilità e validità 
4)	Analisi degli item classica.
5)	Modello di Rasch e sue applicazioni
6)	Trattamento degli esiti di prove di profitto e assegnazione dei voti

Laboratorio
Saranno affrontate quattro esemplificazioni 
Il framework di OCSE PISA di matematica e di scienze
Gli esami di stato e lo studio sulla metrologia delle prove scritte
Gli esami di stato e la gestione delle terze prove
Messa a punto di item specifici del proprio ambito disciplinare

Materiali di studio
Oltre alla manualistica classica sull’argomento liberamente utilizzabile dai frequentanti saranno utilizzati proposti documenti accessibili tramite la rete internet sia per quanto riguarda lo studio Ocse PISA sia per quanto riguarda lo studio sulla metrologia delle prove scritte dell’esame di stato.

AREA 2 E LABORATORIO

DIDATTICA DELLA MATEMATICA  
PROF. L. LAMBERTI Modulo comune ai due curricola (12 ore)

Obiettivi: Comunicare modelli di apprendimento e insegnamento adeguati alla trasmissione didattica di conoscenze matematiche (dichiarative e procedurali). Fornire la capacità di approfondire argomenti disciplinari definendone aspetti cognitivi ed epistemologici.
Il Corso di Didattica della Matematica sarà rivolto alla trattazione di alcuni problemi tradizionali dell’Analisi matematica e dell’Analisi numerica:
• problemi di massimo o minimo (ottimizzazione, ad esempio, del rapporto tra volume di un solido e area della superficie che lo racchiude),
• problemi differenziali (ricostruzione ad esempio, dell’evoluzione temporale di un fenomeno di cui si conosca lo stato iniziale e le variazioni che subisce nel tempo),
• problemi di approssimazione (la costruzione, ad esempio, di espressioni analitiche adatte a rispettare tabelle numeriche dedotte da esperienze di laboratorio).
Il contenuto fondamentale del Corso, da costruirsi con il contributo dei corsisti stessi, sarà il progetto didattico per
• realizzare una chiara trasmissione didattica del problema matematico pro-posto, riconoscendone l’interesse già da parte di uno studente di scuola secondaria,
• trovare una soluzione al problema in casi particolarmente semplici con metodi intuitivi, o contestare alcune false risposte assunte per ingenuità,
• studiare il problema, sempre in un ambiente ragionevolmente semplice, con strumenti matematici elementari,
• eseguire indagini o simulazioni numeriche tramite calcolatore, servendosi, ad esempio, di DERIVE.

LABORATORIO DIDATTICA DELL’INFORMATICA 
PROF.SSE P. MENTRASTI e D. PROIA 
Modulo comune ai due curricola (16x2 ore)

Obiettivo principale è di fornire ai futuri insegnanti chiavi di lettura e d'uso, il più possibile corretto, degli strumenti informatici nella didattica e per la didattica.
Si intende partire da situazioni problematiche, per riflettere sia sull'aiuto che le nuove tecnologie informatiche forniscono nell'apprendimento di concetti matematici (e fisici), che su eventuali "nuove" difficoltà. Si intende affrontare alcuni dei seguenti temi:
L'informatica nella scuola secondaria: un po' di storia e la situazione attuale. Alcuni pacchetti applicativi nella didattica. La navigazione. Internet. Motori di ricerca. Prospettive per l'insegnamento. Classificazione e struttura dei dati. Archivi e basi di dati: quale uso nella didattica? Creazione di prodotti multimediali.
Dall'analisi alla rappresentazione algoritmica del problema. Dagli algoritmi ai linguaggi di programmazione: quale utilizzo nella didattica? Il teorema di programmazione strutturata. Automi e linguaggi formali: come insegnarne le basi?

L'approccio metodologico è partire dall'uso dello strumento per arrivare ad evidenziare i concetti portanti dell'informatica e delle tecnologie della comunicazione. Sarà posta particolare attenzione all'interdisciplinarità.

Modalità di verifica dei risultati: attività di laboratorio e creazione di semplici prodotti informatici.

LAB. DI PROCESSI COGNITIVI E STORIA DELLA MATEMATICA  
PROF. F. GHIONE Modulo comune ai due curricola (8 ore)

Il laboratorio si sviluppa su due temi ognuno dei quali sarà trattato con schede di lavoro e materiale bibliografico e di documentazione storica da discutere e commentare direttamente in laboratorio. Gli argomenti esemplificano delle situazioni concrete di ricerca didattica da parte dell'insegnante che intende avvalersi dell'approccio storico nelle proprie lezioni. Particolare attenzione sarà dedicata all'utilità di tale approccio dal punto di vista della psicologia cognitiva alla luce dei risultati che le neuroscienze hanno acquisito sui meccanismi di base del pensiero. Sarà utilizzato il software Cabri-Géomètre II come strumento didattico interattivo. 
 
* Definizioni, nozioni comuni e postulati negli Elementi e nell‚Ottica di Euclide: loro ruolo nella formazione corretta di un pensiero scientifico. Alcuni problemi "concreti" di geometria della visone trattati e discussi per via sintetica, analitica e dinamica. 
* La didattica di  Eulero e la rappresentazione dei sillogismi: il ruolo della memoria di lavoro nel ragionamento. La nascita  di una nuova algebra "non euclidea" : l'algebra di Boole. 

La valutazione sarà basata su un portfolio da realizzarsi nel corso delle lezioni di laboratorio, contenente un approfondimento personale per ciascuno dei temi trattati.

PROCESSI COGNITIVI E DIDATTICA DELLA MATEMATICA 
 PROF.SSA L. CATASTINI Modulo comune ai due curricola (12 ore)

Il corso intende fornire ai futuri insegnanti di matematica le basi per poter approfondire i recenti sviluppi delle neuroscienze in rapporto alla didattica della matematica. Sarà per questo fornita un'ampia letteratura commentata relativa ai temi direttamente coinvolti nell'insegnamento e nella formazione del pensiero scientifico. I temi che verranno trattati sono i seguenti:
La percezione. La memoria. Discorso naturale e discorso dimostrativo. Il sillogismo. Il ragionamento ipotetico-deduttivo. I due cervelli. Il linguaggio e le immagini. Apprendimento per immersione o per costruzione. 
Nel corso verrà adottata una metodologia di tipo frontale, integrata dall'uso di strumenti multimediali e, ove possibile, dalla discussione collettiva su episodi relativi agli argomenti trattati. emersi in esperienze di tirocinio o di insegnamento degli specializzandi. I temi in programma sono in rete nel sito www.uniroma2.it/mep, (nella sezione articoli), nella monografia Neuroscienze, apprendimento e didattica della matematica di Catastini. 

Il corso è propedeutico al laboratorio di "Processi cognitivi e storia della matematica" nel quale gli argomenti di questo programma troveranno uno sbocco diretto nella storia della matematica in funzione didattica. 

DIDATTICA DELLA MATEMATICA APPLICATA (ATTUARIALE) 
PROF. A. FREDDI Modulo Curr. Mat. Appl. (12 ore)

Tenuto conto dei programmi di insegnamento previsti dal progetto sperimentale IGEA, che sono stati istituzionalizzati dal D.M.31.01.1996, n.122, ritengo che, finalizzato agli obiettivi che si vogliono perseguire, il contenuto del programma possa essere, in linea di massima e compatibilmente con i tempi di attuazione, ritagliato dal seguente.

1. La variabile aleatoria durata della vita di un individuo: definizione e principali caratteristiche numeriche.
2. La funzione di sopravvivenza: le probabilità di vita e di morte.
3. Le operazioni finanziarie aleatorie basate sulla variabile aleatoria durata della vita di un individuo, ossia le assicurazioni sulla vita.
4. Il principio di equivalenza tra un importo monetario aleatorio e un importo monetario certo.
5. Il valore attuale medio di una operazione finanziaria aleatoria: il premio puro e la riserva matematica.
6. Il premio di rischio e il premio di risparmio.
LABORATORIO DI SVILUPPO CURRICOLARE PER LA MATEMATICA APPLICATA
PROF. G. OLIVIERI Modulo Curr. Mat. Appl. (16 ore)

Obiettivi

· Sviluppare la capacità di scomporre un concetto nelle sue articolazioni locali e nelle sue poten-zialità applicative
· Mettere a punto strategie didattiche relative all'anticipazione dell'applicabilità dei concetti ma-tematici
· Utilizzare software didattico come strumento di analisi e risoluzione di problemi

Contenuti

Analisi di situazioni problematiche significative tratte principalmente dagli ambiti della ricerca ope-rativa e messa a punto di percorsi in cui sia prevista la contestuale applicazione dei concetti in ambiti diversi, con uno sguardo rivolto all'intero quinquennio della scuola secondaria superiore.
Gli ambiti di riferimento saranno:
· Il problema generale della costruzione di modelli nel discreto e nel continuo (funzioni, funzioni definite per induzione, sistemi di equazioni e disequazioni, tabelle e grafi);
· Problemi di ottimizzazione nel discreto e nel continuo, in una e due variabili, in presenza e in assenza di vincoli, lineari o non lineari;
· Valutazione di più alternative, problemi di scelta in condizioni di certezza e di incertezza;
· Approssimazioni numeriche e soluzioni approssimate;
· Uso ottimale delle risorse; problemi di programmazione lineare in due o più variabili (metodo grafico, metodo algebrico e metodo del simplesso).

LAB. SVILUPPO CURRICOLARE STORIA DELLA MATEMATICA 
PROF. E. ROGORA Modulo curric. Mat. Appl. (16 ore)

Argomenti: L'insegnamento della geometria solida nelle scuole secondarie superiori; contenuti e strumenti. 
Attività: Analisi dei quesiti di geometria solida proposti all'esame di Stato. Analisi e discussione critica dei percorsi di autoformazione relativi alla geometria solida del CD AMBO, distribuito alle matricole di Ingegneria e di Scienze dell'Università di Roma La Sapienza. Elaborazione di quesiti adatti per valutare la capacita' di visualizzazione nello spazio a tre dimensioni. Rassegna critica di alcuni strumenti per l'insegnamento della Geometria solida; Cabrì II, Cabrì 3D, modelli in plastica,  modelli in cartone da costruire.

STRUMENTAZIONI E TEORIE FISICHE  
PROF.SSA M. G. IANNIELLO Modulo curric. Mat. Fis. (12 ore)

Nel modulo vengono affrontate le principali connessioni tra alcuni concetti fondamentali della fisica, i suoi strumenti, le tecniche sperimentali, la ricerca e il contesto tecnologico nella loro evoluzione storica. Si tratta dunque di una serie di lezioni-seminario di carattere interdisciplinare, finalizzate a fornire ai futuri insegnanti delle chiavi di lettura trasversali per realizzare connessioni con la storia, la filosofia, la tecnologia, ed inoltre, ad orientarli verso l’utilizzazione dei Musei della scienza come luogo di conoscenza e di apprendimento. Tra i temi affrontati: la genesi dei concetti di pressione, temperatura, forza, lavoro, energia; elettricità e magnetismo, ecc. Sono previste, da parte degli specializzandi, piccole prove in itinere e una sintetica relazione finale. Nel corso vengono fornite brevi dispense con le linee essenziali dei temi trattati, bibliografie di approfondimento e argomenti di intersezione tra vari settori disciplinari.  

DIDATTICA DELLA MATEMATICA APPLICATA 
(PROBABILITA’)
PROF. MARIO BARRA Modulo curric. Mat. Fis. (12 ore)

- Analisi degli errori più frequenti e strategie per superarli a proposito di: dipendenza e indipendenza logica e stocastica, calcolo combinatorio, legge dei grandi numeri, indici statistici, ragionamento bayesiano
- Più metodi per lo stesso argomento: somma di eventi e di "dadi" a 2, 3, 6 e n facce con i metodi: combinatorico, algoritmico, geometrico e analitico.
Scoperta del "Triangolo di Tartaglia semplice e generalizzato", dei coefficenti binomiali e plurinomiali e delle loro proprietà. 
 - Alcuni collegamenti fra calcolo delle probabilità, analisi, fisica, geometria, teoria dei numeri e analisi numerica.
Un metodo semplice per la spiegazione della presenza della "curva a campana" in statistica. Legge dei grandi numeri: dimostrazione unitaria in collegamento ad alcuni argomenti precedenti, misconcetti, errori frequenti e traduzione didattica.
- Aspetti storici, pedagogici e didattici (intuizione, aspetti deduttivi e induttivi, ruolo della rappresentazione…) con particolare riferimento alle ricerche e alle esperienze condotte a scuola sugli argomenti trattati.
Sviluppo delle capacità linguistiche e delle capacità argomentative e dimostrative in collegamento con le immagini mentali.

LAB. SVILUPPO CURRICOLARE PER LA FISICA 
PROF. G. BATTIMELLI Modulo curric. Mat. Fis. (16 ore)

Saranno presentati alcuni argomenti di fisica che, pur essendo inseriti almeno formalmente nei programmi scolastici, vengono solitamente trascurati o discussi in maniera superficiale e insoddisfacente. Si cercherà in particolare di sottolineare la possibilità di affrontare queste problematiche in modo “elementare”, enfatizzando quegli aspetti, rilevanti per una didattica di base, che richiedono la messa a punto di un linguaggio disciplinare specifico in cui siano rese esplicite le peculiarità semantiche del discorso della fisica, e proponendo una rivisitazione critica dei concetti fondamentali.
I contenuti disciplinari specifici attorno a cui sarà organizzato il modulo sono i seguenti: 
-	principio di omogeneità, analisi dimensionale, stime, ordini di grandezza, approssimazioni;
-	principi della meccanica e leggi di conservazione. Simmetrie e sistemi di riferimento: relatività galileiana. Urti e leggi di conservazione; 
-	simmetrie e sistemi di riferimento: dalle trasformazioni di Galileo alle trasformazioni di Lorentz. Cinematica e dinamica relativistica. 

LABORATORIO DI FISICA
PROF. M. CASALBONI Modulo curric. Mat. Fis. (16 ore)

Il corso di Laboratorio di Fisica si pone come obiettivo la progettazione, l’esecuzione e la presentazione agli studenti di alcuni semplici esperimenti di Fisica, relativi al programma svolto nelle classi finali dei licei o degli istituti tecnici.
L’organizzazione del corso prevede una stretta collaborazione tra docenti e specializzandi. Punto di forza sarà l’esecuzione, da parte degli specializzandi, delle esperienze proposte. 
In linea di massima si tratta di tre/quattro diversi esperimenti significativi da concordare su argomenti di meccanica, elettricità, ottica, termodinamica, ecc.,. In ognuno dei quattro incontri (di quattro ore) si approfondirà un argomento, si progetterà e si realizzerà l’esperimento o gli esperimenti relativi e si metteranno a punto le lezioni da porgere agli studenti.
Le forme ed i modi dipenderanno dal numero degli specializzandi coinvolti.
Per ogni incontro, un giudizio parziale (in itinere) verrà redatto dai docenti per ogni specializzando o gruppo di specializzandi. I giudizi concorreranno alla valutazione finale.

LAB. SVILUPPO CURRICOLARE PER LA MATEMATICA 
PROF. A. SAMBUSETTI Modulo curric. Mat. Fis. (16 ore)

Il corso si articolera' in due fasi. Nella prima, saranno distribuiti un certo numero di temi di pertinenza del programma di matematica delle scuole superiori, o sviluppabili lateralmente al programma ufficiale  con gli strumenti matematici a disposizione degli studenti delle scuole superiori, oppure legati ad attivita' di eccellenza. I temi varieranno tra argomenti di logica elementare, teoria ingenua degli insiemi, aritmetica di base, combinatoria, geometria, quali: paradossi, cardinalita', numeri primi, congruenze, codici, limiti, giochi matematici,  probabilita', grafi, geometria dello spazio, figure impossibili, topologia elementare ecc.  
In una seconda fase, gli studenti dovranno sviluppare individualmente l'argomento scelto, e presentarlo in una "proposta di lezione" o di "cicli di lezione" sotto la supervisione del docente. 

La "proposta di lezione", dovra' essere articolata nel seguente modo:
a) una prima parte (breve) deve essere dedicata ad illustrare per quali studenti la lezione e' pensata, e quali nozioni e strumenti matematici (cioe': le definizioni, i teoremi o gli esempi che si suppone di aver sviluppato in lezioni precedenti) sono necessari agli studenti per poter seguire la lezione proposta;
b) una seconda parte in cui si espone succintamente il piano della lezione o del ciclo di lezioni (se l'argomento scelto non puo' essere esaurito in un'unica lezione);
c) una terza in cui si espongono, esattamente come si farebbe di fronte agli studenti, la lezione  o (per esigenze di tempo) solo alcune parti di essa.

Gli aspetti che saranno tenuti in considerazione nella valutazione della presentazione sono:
-difficolta' intrinseca dell'argomento che si e' scelto di esporre;
-chiarezza dell'esposizione;
-successo nel trovare relazioni con temi di altre materie (fisica, biologia, arte, ecc.) o con problemi concreti che possano suscitare la curiosita' e l'interesse degli studenti;
-presentazione tramite un buon numero di esempi e di domande stimolanti; 
-materiale scelto per la lezione (dispense, lucidi, disegni, fonti internet o quant'altro)

Lo sviluppo dei temi dovra' contenere almeno le nozioni e gli esempi indicati tra parentesi nelle proposte qui di seguito (ma non necessariamente limitarsi ad essi). 

 Temi proposti

1) Logica elementare
(calcolo proposizionale, tavole di verita' e giochi da settimana enigmistica), BeS, F133-, Lo

2) Teoria ingenua degli insiemi e problemi di linguaggio
(problemi linguistici e semantici, paradossi, insiemi onesti, aggettivi eterologici) BeS, F46-, Lo

3)* Insiemi ordinati
(relazioni d'ordine, esempi, massimi e minimi, estremo superiore e inferiore, reali, paradosso di Amphibius ecc) F11-, FG, An

4) Corrispondenze biunivoche e principio della gabbia di piccioni
(applicazioni, iniettivita', suriettivita', biezioni, insiemi infiniti e hotel di Hibert) BuS38-, FG 

5a&b) Cardinalita' e infinito
(insieme delle parti, equipotenza, infinito dei numeri razionali, infinito del continuo, punti in un quadrato e in un suo lato, ipotesi del continuo) IS, FG, BuS138

6) Aritmetica dei numeri primi
(infinita' dei primi, fattorizzazione, problemi sui primi) BuS64, D, Roe

7) Teoria dei gruppi e congruenze
(esempi di operazioni, il gruppo Zn, congruenze, problema dell'inverso in Zn, problema dei prigionieri) S, H, D, Roe

8)a&b&c Aritmetica dell'orologio e applicazioni
(identita' di Bezout, congruenze, equazioni diofantee, calendari perpetui) BuS83, FG, Roe
(codici a barre) BuS83, Roe
(crittografia e piccolo teorema di Fermat) BuS96, Roe

9) Ragionamento epsilon-delta
(limite, serie convergenti, paradosso di Zenone, metodo di esaustione di Archimede) F187-, An, N

10)* Fibonacci e sezione aurea
(limiti, frazioni continue, dinamica dei conigli, costruzione geometrica della sezione aurea, problemi) BuS47, BuS233, Roe

11)* Teoria dei gruppi e combinatoria
(esempi di insiemi con operazioni, composizione di trasformazioni, permutazioni, cubo di Rubik, gioco del 15) S, G, H

12)a&b Teoria dei gruppi e geometria 
-(composizione di trasformazioni, trasformazioni rigide, teorema di classificazione delle trasformazioni rigide del piano) S, Ge
-(simmetrie, centri di simmetria, gruppi diedrali) S, Ge

13)a&b&c Probabilita' e paradossi
-(risultati inaspettati: lotto, schedina, compleanni, Bernoulli) F116, Ros
-(cattive formulazioni o interpretazioni: testa o croce, tre carte, paradosso di Bertrand) F116, Ros
-(statistiche scorrette, paradosso del voto) F136, F183, Ros

14) Figure impossibili
(il triangolo di Penrose, il cubo di Necker,  i disegni di Escher; dimostrazione dell'impossibilita' di certe figure usando la geometria elementare dello spazio) F31-, F34-, F58-, Ge

15) Solidi platonici
(dualita', caratteristica di Eulero, dimostrazione che sono i soli poliedri regolari) BuS268, BuS356

16) Geometria della sfera
(curve minimizzanti, area di un triangolo sferico, somma degli angoli di un triangolo sferico) BuS288, P

17)a&b Introduzione alla Topologia
(equivalenza per deformazione, esempi, toro non equivalente alla sfera) BuS332
(orientabilita', nastro di Moebius e bottiglia di Klein, problemi) BuS344

18) Nodi e Links
(il problema dell'equivalenza, esempio di procedura di scioglimento, relazione tra icosaedro/sezione aurea/anelli borromiani)

Bibliografia

An - un qualsiasi testo di base di Analisi Matematica
BeS - "Parliamo di Logica", note di Bernardi&Sambusetti
           (http://www.mat.uniroma1.it/didattica/orientamento_matricole/index.html)
BP "La verita' trasmessa. La logica attraverso le dimostrazioni matematiche" Bellissima&Pagli
BuS - "The heart of mathematics", Burger&Starbird
D - "Aritmetica superiore: un'introduzione alla teoria dei numeri", Davenport
F - "The Paradoxicon", Falletta
FG - "Insiemi, numeri e polinomi", Fontana&Gabelli
G - "Enigmi e giochi matematici", Gardner
Ge - un qualsiasi testo di base di Geometria 1
H - "Algebra", Herstein
IS - "Intorno al concetto di infinito", note di Incitti&Sambusetti
        (http://www.mat.uniroma1.it/didattica/orientamento_matricole/index.html)
J - Note sul sistema di crittografia RSA
       (http://pajhome.org.uk/crypt/rsa/rsa.html)
Lo - "Introduzione alla logica formale", Lolli
La - "La bellezza della matematica", S.Lang
N - "Il giardino di Archimede", note distribuite in classe
P - "Area of a spherical triangle" da Planetmath
Pa - "Matematica dei giochi e dell'azzardo", E.Packel
Pe - "Il Topologicon", Petit
         (http://www.jp-petit.com/TELECHARGEABLES/Italien/il_topologicon.htm)
Roe - "Elementary number theory and its applications", Roesen
Ros - "Calcolo delle probabilita'", Ross
S - "Intorno al concetto di gruppo", note di Sambusetti

Alcuni siti utili:
http://mathworld.wolfram.com/
http://planetmath.org/